Lös 11=1+20x-49x^2

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0,204081633-0,403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0,204081633+0,403028932i$$

Steg med lösningsformeln

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Subtrahera 11 från båda led.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

Subtrahera 11 från 1 för att få -10.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -49, b med 20 och c med -10 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kvadrera 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicera -4 med -49.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicera 196 med -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

Addera 400 till -1960.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

Dra kvadratroten ur -1560.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicera 2 med -49.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} när ± är plus. Addera -20 till 2i\sqrt{390}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

Dela -20+2i\sqrt{390} med -98.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{390} från -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

Dela -20-2i\sqrt{390} med -98.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Steg för kvadratkomplettering

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

Subtrahera 1 från 11 för att få 10.

$$20x-49x^{2}=10$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}+20x=10$$

Dividera båda led med -49.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

Division med -49 tar ut multiplikationen med -49.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

Dela 20 med -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

Dela 10 med -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

Dividera -\frac{20}{49}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{10}{49}. Addera sedan kvadraten av -\frac{10}{49} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{10}{49} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

Addera -\frac{10}{49} till \frac{100}{2401} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

Addera \frac{10}{49} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$