Lös 11x^2-12x+3=0

$$11 x ^ { 2 } - 12 x + 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}\approx 0,70291371$$

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}\approx 0,387995381$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 11, b med -12 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Multiplicera -4 med 11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-44\times 3}}{2\times 11}$$

Multiplicera -44 med 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-132}}{2\times 11}$$

Addera 144 till -132.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{12}}{2\times 11}$$

Dra kvadratroten ur 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Multiplicera 2 med 11.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} när ± är plus. Addera 12 till 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+12}{22}$$

Dela 12+2\sqrt{3} med 22.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{3} från 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{3}}{22}$$

Dela 12-2\sqrt{3} med 22.

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$11x^{2}-12x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$11x^{2}-12x=-3$$

Dividera båda led med 11.

$$\frac{11x^{2}-12x}{11}=-\frac{3}{11}$$

Division med 11 tar ut multiplikationen med 11.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x=-\frac{3}{11}$$

Dividera -\frac{12}{11}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{6}{11}. Addera sedan kvadraten av -\frac{6}{11} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}=-\frac{3}{11}+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{6}{11} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=-\frac{3}{11}+\frac{36}{121}$$

Addera -\frac{3}{11} till \frac{36}{121} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{3}{121}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{3}{121}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{121}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{6}{11}=\frac{\sqrt{3}}{11} x-\frac{6}{11}=-\frac{\sqrt{3}}{11}$$

Addera \frac{6}{11} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$