Lös 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 11, b med -10 och c med 13 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Kvadrera -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Multiplicera -4 med 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Multiplicera -44 med 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Addera 100 till -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Dra kvadratroten ur -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Motsatsen till -10 är 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Multiplicera 2 med 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} när ± är plus. Addera 10 till 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Dela 10+2i\sqrt{118} med 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{118} från 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Dela 10-2i\sqrt{118} med 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Subtrahera 13 från båda ekvationsled.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Subtraktion av 13 från sig självt ger 0 som resultat.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Dividera båda led med 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Division med 11 tar ut multiplikationen med 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Dividera -\frac{10}{11}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{11}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{11} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{11} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Addera -\frac{13}{11} till \frac{25}{121} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Addera \frac{5}{11} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$