Lös 10x^2-x+3=0

$$10 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}\approx 0,05+0,545435606i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}\approx 0,05-0,545435606i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 10, b med -1 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 10\times 3}}{2\times 10}$$

Multiplicera -4 med 10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-40\times 3}}{2\times 10}$$

Multiplicera -40 med 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2\times 10}$$

Addera 1 till -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2\times 10}$$

Dra kvadratroten ur -119.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Multiplicera 2 med 10.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} när ± är plus. Addera 1 till i\sqrt{119}.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{119} från 1.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$10x^{2}-x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$10x^{2}-x=-3$$

Dividera båda led med 10.

$$\frac{10x^{2}-x}{10}=-\frac{3}{10}$$

Division med 10 tar ut multiplikationen med 10.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x=-\frac{3}{10}$$

Dividera -\frac{1}{10}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{20}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{20} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{10}+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{20} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

Addera -\frac{3}{10} till \frac{1}{400} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{119}{400}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{119}{400}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{400}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{20}=\frac{\sqrt{119}i}{20} x-\frac{1}{20}=-\frac{\sqrt{119}i}{20}$$

Addera \frac{1}{20} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$