Lös 10x^2-31x+15=0

$$10 x ^ { 2 } - 31 x + 15 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 10x^{2}+ax+bx+15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-31 ab=10\times 15=150$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 150.

$$-1,-150 -2,-75 -3,-50 -5,-30 -6,-25 -10,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-150=-151 -2-75=-77 -3-50=-53 -5-30=-35 -6-25=-31 -10-15=-25$$

Lösningen är det par som ger Summa -31.

$$a=-25 b=-6$$

Skriv om 10x^{2}-31x+15 som \left(10x^{2}-25x\right)+\left(-6x+15\right).

$$\left(10x^{2}-25x\right)+\left(-6x+15\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$5x\left(2x-5\right)-3\left(2x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Lös 2x-5=0 och 5x-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{3}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$10x^{2}-31x+15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 10, b med -31 och c med 15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Kvadrera -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Multiplicera -4 med 10.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 15}}{2\times 10}$$

Multiplicera -40 med 15.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-600}}{2\times 10}$$

Addera 961 till -600.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

Dra kvadratroten ur 361.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±19}{2\times 10}$$

Motsatsen till -31 är 31.

$$x=\frac{31±19}{2\times 10}$$

Multiplicera 2 med 10.

$$x=\frac{31±19}{20}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{31±19}{20} när ± är plus. Addera 31 till 19.

$$x=\frac{50}{20}$$

Minska bråktalet \frac{50}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{31±19}{20} när ± är minus. Subtrahera 19 från 31.

$$x=\frac{12}{20}$$

Minska bråktalet \frac{12}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{3}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-31x+15=0$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$10x^{2}-31x+15-15=-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$10x^{2}-31x=-15$$

Dividera båda led med 10.

$$\frac{10x^{2}-31x}{10}=-\frac{15}{10}$$

Division med 10 tar ut multiplikationen med 10.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x=-\frac{15}{10}$$

Minska bråktalet \frac{-15}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 5.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x=-\frac{3}{2}$$

Dividera -\frac{31}{10}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{31}{20}. Addera sedan kvadraten av -\frac{31}{20} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\left(-\frac{31}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{31}{20}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{31}{20} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}=-\frac{3}{2}+\frac{961}{400}$$

Addera -\frac{3}{2} till \frac{961}{400} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}=\frac{361}{400}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{31}{20}\right)^{2}=\frac{361}{400}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{400}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{31}{20}=\frac{19}{20} x-\frac{31}{20}=-\frac{19}{20}$$

Addera \frac{31}{20} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{3}{5}$$