Lös 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 10x^{2}+ax+bx-12. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=-8 b=15$$

Skriv om 10x^{2}+7x-12 som \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Lös 5x-4=0 och 2x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 10, b med 7 och c med -12 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrera 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -4 med 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -40 med -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Addera 49 till 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Dra kvadratroten ur 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Multiplicera 2 med 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±23}{20} när ± är plus. Addera -7 till 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Minska bråktalet \frac{16}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±23}{20} när ± är minus. Subtrahera 23 från -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Minska bråktalet \frac{-30}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Addera 12 till båda ekvationsled.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Subtraktion av -12 från sig självt ger 0 som resultat.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Subtrahera -12 från 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Dividera båda led med 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Division med 10 tar ut multiplikationen med 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Minska bråktalet \frac{12}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Dividera \frac{7}{10}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{7}{20}. Addera sedan kvadraten av \frac{7}{20} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{7}{20} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Addera \frac{6}{5} till \frac{49}{400} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Subtrahera \frac{7}{20} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$