Lös 10x^2+32x-23=0

$$10 x ^ { 2 } + 32 x - 23 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}\approx 0,604540769$$

$$x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}\approx -3,804540769$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$10x^{2}+32x-23=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 10, b med 32 och c med -23 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 10\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrera 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 10\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -4 med 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-40\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -40 med -23.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+920}}{2\times 10}$$

Addera 1024 till 920.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1944}}{2\times 10}$$

Dra kvadratroten ur 1944.

$$x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{2\times 10}$$

Multiplicera 2 med 10.

$$x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20} när ± är plus. Addera -32 till 18\sqrt{6}.

$$x=\frac{18\sqrt{6}-32}{20}$$

Dela -32+18\sqrt{6} med 20.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20} när ± är minus. Subtrahera 18\sqrt{6} från -32.

$$x=\frac{-18\sqrt{6}-32}{20}$$

Dela -32-18\sqrt{6} med 20.

$$x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5} x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+32x-23=0$$

Addera 23 till båda ekvationsled.

$$10x^{2}+32x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Subtraktion av -23 från sig självt ger 0 som resultat.

$$10x^{2}+32x=-\left(-23\right)$$

Subtrahera -23 från 0.

$$10x^{2}+32x=23$$

Dividera båda led med 10.

$$\frac{10x^{2}+32x}{10}=\frac{23}{10}$$

Division med 10 tar ut multiplikationen med 10.

$$x^{2}+\frac{32}{10}x=\frac{23}{10}$$

Minska bråktalet \frac{32}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=\frac{23}{10}$$

Dividera \frac{16}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{8}{5}. Addera sedan kvadraten av \frac{8}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{23}{10}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{8}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{23}{10}+\frac{64}{25}$$

Addera \frac{23}{10} till \frac{64}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{243}{50}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{243}{50}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{243}{50}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{9\sqrt{6}}{10} x+\frac{8}{5}=-\frac{9\sqrt{6}}{10}$$

Subtrahera \frac{8}{5} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5} x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$