Lös 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Lös ut k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 10k^{2}+ak+bk-1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Lösningen är det par som ger Summa 9.

$$a=-1 b=10$$

Skriv om 10k^{2}+9k-1 som \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Bryt ut k i 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Bryt ut den gemensamma termen 10k-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Lös 10k-1=0 och k+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 10, b med 9 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrera 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -4 med 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -40 med -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Addera 81 till 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Dra kvadratroten ur 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Multiplicera 2 med 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Lös nu ekvationen k=\frac{-9±11}{20} när ± är plus. Addera -9 till 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Minska bråktalet \frac{2}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Lös nu ekvationen k=\frac{-9±11}{20} när ± är minus. Subtrahera 11 från -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Dela -20 med 20.

$$k=-1$$

Ekvationen har lösts.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Dividera båda led med 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Division med 10 tar ut multiplikationen med 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Dividera \frac{9}{10}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{9}{20}. Addera sedan kvadraten av \frac{9}{20} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{9}{20} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Addera \frac{1}{10} till \frac{81}{400} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktorisera k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Förenkla.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Subtrahera \frac{9}{20} från båda ekvationsled.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$