Lös 10x^2-7x-3=0

$$10 { x }^{ 2 } -7x-3=0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{3}{10}=-0,3$$

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 10x^{2}+ax+bx-3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-7 ab=10\left(-3\right)=-30$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -7.

$$a=-10 b=3$$

Skriv om 10x^{2}-7x-3 som \left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right)$$

Utfaktor 10x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$10x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-1\right)\left(10x+3\right)$$

Lös x-1=0 och 10x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 10, b med -7 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrera -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -4 med 10.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -40 med -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 10}$$

Addera 49 till 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 10}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 10}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 10}$$

Multiplicera 2 med 10.

$$x=\frac{7±13}{20}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±13}{20} när ± är plus. Addera 7 till 13.

$$x=\frac{20}{20}$$

Dela 20 med 20.

$$x=1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±13}{20} när ± är minus. Subtrahera 13 från 7.

$$x=-\frac{6}{20}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{3}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$10x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$10x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$10x^{2}-7x=3$$

Dividera båda led med 10.

$$\frac{10x^{2}-7x}{10}=\frac{3}{10}$$

Division med 10 tar ut multiplikationen med 10.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x=\frac{3}{10}$$

Dividera -\frac{7}{10}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{20}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{20} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{20} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{3}{10}+\frac{49}{400}$$

Addera \frac{3}{10} till \frac{49}{400} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{169}{400}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{169}{400}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{400}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{20}=\frac{13}{20} x-\frac{7}{20}=-\frac{13}{20}$$

Addera \frac{7}{20} till båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$