Lös 10x^2-7x-12

$$10 { x }^{ 2 } -7x-12$$

Faktorisera

$$\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 10x^{2}+ax+bx-12. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -7.

$$a=-15 b=8$$

Skriv om 10x^{2}-7x-12 som \left(10x^{2}-15x\right)+\left(8x-12\right).

$$\left(10x^{2}-15x\right)+\left(8x-12\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$5x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}-7x-12=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrera -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -4 med 10.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicera -40 med -12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Addera 49 till 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Dra kvadratroten ur 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 10}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 10}$$

Multiplicera 2 med 10.

$$x=\frac{7±23}{20}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±23}{20} när ± är plus. Addera 7 till 23.

$$x=\frac{30}{20}$$

Minska bråktalet \frac{30}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±23}{20} när ± är minus. Subtrahera 23 från 7.

$$x=-\frac{16}{20}$$

Minska bråktalet \frac{-16}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{3}{2} och x_{2} med -\frac{4}{5}.

$$10x^{2}-7x-12=10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$10x^{2}-7x-12=10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Subtrahera \frac{3}{2} från x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$10x^{2}-7x-12=10\times \frac{2x-3}{2}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Addera \frac{4}{5} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$10x^{2}-7x-12=10\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{5x+4}{5}$$

Multiplicera \frac{2x-3}{2} med \frac{5x+4}{5} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$10x^{2}-7x-12=10\times \frac{\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$10x^{2}-7x-12=10\times \frac{\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)}{10}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 10 i 10 och 10.

$$10x^{2}-7x-12=\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)$$

Beräkna

$$\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)$$