Lös 0=-4x^2+4x+1

$$0=-4 { x }^{ 2 } +4x+1$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \approx 1,207106781$$

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0,207106781$$

Steg med lösningsformeln

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -4, b med 4 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera -4 med -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\left(-4\right)}$$

Addera 16 till 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\left(-4\right)}$$

Dra kvadratroten ur 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 2 med -4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8} när ± är plus. Addera -4 till 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Dela -4+4\sqrt{2} med -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{2} från -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Dela -4-4\sqrt{2} med -8.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2} x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$-4x^{2}+4x=-1$$

Dividera båda led med -4.

$$\frac{-4x^{2}+4x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division med -4 tar ut multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{4}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Dela 4 med -4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-4}$$

Dela -1 med -4.

$$x^{2}-x=\frac{1}{4}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Addera \frac{1}{4} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$