Lös 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Lös ut t

$$t=1$$

$$t=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Dividera båda led med 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -t^{2}+at+bt-2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=2 b=1$$

Skriv om -t^{2}+3t-2 som \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Bryt ut -t i -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Bryt ut den gemensamma termen t-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Lös t-2=0 och -t+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$t=2 t=1$$

Steg med lösningsformeln

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -16, b med 48 och c med -32 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrera 48.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera -4 med -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera 64 med -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Addera 2304 till -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Dra kvadratroten ur 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera 2 med -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{-48±16}{-32} när ± är plus. Addera -48 till 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Dela -32 med -32.

$$t=1$$

Lös nu ekvationen t=\frac{-48±16}{-32} när ± är minus. Subtrahera 16 från -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Dela -64 med -32.

$$t=2$$

Ekvationen har lösts.

$$t=1 t=2$$

Steg för kvadratkomplettering

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Lägg till 32 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Dividera båda led med -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

Division med -16 tar ut multiplikationen med -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Dela 48 med -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Dela 32 med -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Addera -2 till \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktorisera t^{2}-3t+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Förenkla.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$t=2 t=1$$