Lös -5x^2+3x+4=0

$$-5 { x }^{ 2 } +3x+4 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{89} + 3}{10} \approx 1,243398113$$

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}\approx -0,643398113$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-5x^{2}+3x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -5, b med 3 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 20 med 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+80}}{2\left(-5\right)}$$

Addera 9 till 80.

$$x=\frac{-3±\sqrt{89}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 2 med -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10} när ± är plus. Addera -3 till \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-3}{-10}$$

Dela -3+\sqrt{89} med -10.

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{89} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-3}{-10}$$

Dela -3-\sqrt{89} med -10.

$$x=\frac{\sqrt{89}+3}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10} x=\frac{\sqrt{89}+3}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+3x+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$-5x^{2}+3x+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-5x^{2}+3x=-4$$

Dividera båda led med -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=-\frac{4}{-5}$$

Division med -5 tar ut multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=-\frac{4}{-5}$$

Dela 3 med -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{4}{-5}$$

Dela -4 med -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{4}{5}$$

Dividera -\frac{3}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{4}{5}+\frac{9}{100}$$

Addera \frac{4}{5} till \frac{9}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{89}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{89}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{89}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{89}}{10}$$

Addera \frac{3}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{89}+3}{10} x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}$$