Lös -5x^2+15000x=1250000

$$-5 { x }^{ 2 } +15000x=1250000$$

Lös ut x

$$x=1000\sqrt{2}+1500\approx 2914,213562373$$

$$x=1500-1000\sqrt{2}\approx 85,786437627$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-5x^{2}+15000x=1250000$$

Subtrahera 1250000 från båda ekvationsled.

$$-5x^{2}+15000x-1250000=1250000-1250000$$

Subtraktion av 1250000 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-5x^{2}+15000x-1250000=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -5, b med 15000 och c med -1250000 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15000±\sqrt{15000^{2}-4\left(-5\right)\left(-1250000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrera 15000.

$$x=\frac{-15000±\sqrt{225000000-4\left(-5\right)\left(-1250000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$x=\frac{-15000±\sqrt{225000000+20\left(-1250000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 20 med -1250000.

$$x=\frac{-15000±\sqrt{225000000-25000000}}{2\left(-5\right)}$$

Addera 225000000 till -25000000.

$$x=\frac{-15000±\sqrt{200000000}}{2\left(-5\right)}$$

Dra kvadratroten ur 200000000.

$$x=\frac{-15000±10000\sqrt{2}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 2 med -5.

$$x=\frac{-15000±10000\sqrt{2}}{-10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-15000±10000\sqrt{2}}{-10} när ± är plus. Addera -15000 till 10000\sqrt{2}.

$$x=\frac{10000\sqrt{2}-15000}{-10}$$

Dela -15000+10000\sqrt{2} med -10.

$$x=1500-1000\sqrt{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-15000±10000\sqrt{2}}{-10} när ± är minus. Subtrahera 10000\sqrt{2} från -15000.

$$x=\frac{-10000\sqrt{2}-15000}{-10}$$

Dela -15000-10000\sqrt{2} med -10.

$$x=1000\sqrt{2}+1500$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1500-1000\sqrt{2} x=1000\sqrt{2}+1500$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+15000x=1250000$$

Dividera båda led med -5.

$$\frac{-5x^{2}+15000x}{-5}=\frac{1250000}{-5}$$

Division med -5 tar ut multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{15000}{-5}x=\frac{1250000}{-5}$$

Dela 15000 med -5.

$$x^{2}-3000x=\frac{1250000}{-5}$$

Dela 1250000 med -5.

$$x^{2}-3000x=-250000$$

Dividera -3000, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1500. Addera sedan kvadraten av -1500 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3000x+\left(-1500\right)^{2}=-250000+\left(-1500\right)^{2}$$

Kvadrera -1500.

$$x^{2}-3000x+2250000=-250000+2250000$$

Addera -250000 till 2250000.

$$x^{2}-3000x+2250000=2000000$$

Faktorisera x^{2}-3000x+2250000. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-1500\right)^{2}=2000000$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1500\right)^{2}}=\sqrt{2000000}$$

Förenkla.

$$x-1500=1000\sqrt{2} x-1500=-1000\sqrt{2}$$

Addera 1500 till båda ekvationsled.

$$x=1000\sqrt{2}+1500 x=1500-1000\sqrt{2}$$