Lös -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -4, b med 20 och c med -47 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrera 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera -4 med -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 16 med -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Addera 400 till -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Dra kvadratroten ur -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 2 med -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} när ± är plus. Addera -20 till 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Dela -20+4i\sqrt{22} med -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} när ± är minus. Subtrahera 4i\sqrt{22} från -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Dela -20-4i\sqrt{22} med -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Addera 47 till båda ekvationsled.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Subtraktion av -47 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Subtrahera -47 från 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Dividera båda led med -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Division med -4 tar ut multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Dela 20 med -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Dela 47 med -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Dividera -5, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Addera -\frac{47}{4} till \frac{25}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Faktorisera x^{2}-5x+\frac{25}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Addera \frac{5}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$