Lös -4a^2-3a+1=0

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

Lös ut a

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=-1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -4a^{2}+aa+ba+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -4.

$$1,-4 2,-2$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Lösningen är det par som ger Summa -3.

$$a=1 b=-4$$

Skriv om -4a^{2}-3a+1 som \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right).

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

Utfaktor -a i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 4a-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

Lös 4a-1=0 och -a-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -4, b med -3 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrera -3.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera -4 med -4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Addera 9 till 16.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Dra kvadratroten ur 25.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 2 med -4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

Lös nu ekvationen a=\frac{3±5}{-8} när ± är plus. Addera 3 till 5.

$$a=\frac{8}{-8}$$

Dela 8 med -8.

$$a=-1$$

Lös nu ekvationen a=\frac{3±5}{-8} när ± är minus. Subtrahera 5 från 3.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{-8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

Dividera båda led med -4.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division med -4 tar ut multiplikationen med -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Dela -3 med -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Dela -1 med -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

Dividera \frac{3}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{8}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Addera \frac{1}{4} till \frac{9}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktorisera a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Förenkla.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Subtrahera \frac{3}{8} från båda ekvationsled.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$