Lös -3x^2-8x+16=0

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-4$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -3x^{2}+ax+bx+16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -8.

$$a=4 b=-12$$

Skriv om -3x^{2}-8x+16 som \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -4 i den andra gruppen.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

Lös 3x-4=0 och -x-4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med -8 och c med 16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 64 till 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±16}{-6} när ± är plus. Addera 8 till 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Dela 24 med -6.

$$x=-4$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±16}{-6} när ± är minus. Subtrahera 16 från 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Minska bråktalet \frac{-8}{-6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Subtrahera 16 från båda ekvationsled.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

Subtraktion av 16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

Dela -8 med -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

Dela -16 med -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Dividera \frac{8}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{4}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{4}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{4}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Addera \frac{16}{3} till \frac{16}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Subtrahera \frac{4}{3} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$