Lös -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -144, b med 9 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Kvadrera 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Multiplicera -4 med -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Multiplicera 576 med -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Addera 81 till -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Dra kvadratroten ur -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Multiplicera 2 med -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} när ± är plus. Addera -9 till 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Dela -9+27i\sqrt{7} med -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} när ± är minus. Subtrahera 27i\sqrt{7} från -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Dela -9-27i\sqrt{7} med -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Dividera båda led med -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Division med -144 tar ut multiplikationen med -144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Minska bråktalet \frac{9}{-144} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Minska bråktalet \frac{9}{-144} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Dividera -\frac{1}{16}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{32}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{32} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{32} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Addera -\frac{1}{16} till \frac{1}{1024} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Addera \frac{1}{32} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$