Lös -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med -1 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 1 till -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} när ± är plus. Addera 1 till i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Dela 1+i\sqrt{3} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{3} från 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Dela 1-i\sqrt{3} med -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Dela -1 med -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Dela 1 med -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Addera -1 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$