Lös -x^2+90x-75=20

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88,931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1,068234727$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Subtrahera 20 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

Subtraktion av 20 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

Subtrahera 20 från -75.

$$-x^{2}+90x-95=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 90 och c med -95 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -95.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 8100 till -380.

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 7720.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} när ± är plus. Addera -90 till 2\sqrt{1930}.

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Dela -90+2\sqrt{1930} med -2.

$$x=45-\sqrt{1930}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{1930} från -90.

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Dela -90-2\sqrt{1930} med -2.

$$x=\sqrt{1930}+45$$

Ekvationen har lösts.

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Addera 75 till båda ekvationsled.

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

Subtraktion av -75 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

Subtrahera -75 från 20.

$$-x^{2}+90x=95$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

Dela 90 med -1.

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

Dela 95 med -1.

$$x^{2}-90x=-95$$

Dividera -90, koefficienten för termen x, med 2 för att få -45. Addera sedan kvadraten av -45 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

Kvadrera -45.

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

Addera -95 till 2025.

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

Faktorisera x^{2}-90x+2025. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

Förenkla.

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

Addera 45 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$