Lös -x^2+810x-2000=0

$$- x ^ { 2 } + 810 x - 2000 = 0$$

Lös ut x

$$x=5\sqrt{6481}+405\approx 807,523291252$$

$$x=405-5\sqrt{6481}\approx 2,476708748$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+810x-2000=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 810 och c med -2000 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-810±\sqrt{810^{2}-4\left(-1\right)\left(-2000\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 810.

$$x=\frac{-810±\sqrt{656100-4\left(-1\right)\left(-2000\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-810±\sqrt{656100+4\left(-2000\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -2000.

$$x=\frac{-810±\sqrt{656100-8000}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 656100 till -8000.

$$x=\frac{-810±\sqrt{648100}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 648100.

$$x=\frac{-810±10\sqrt{6481}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-810±10\sqrt{6481}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-810±10\sqrt{6481}}{-2} när ± är plus. Addera -810 till 10\sqrt{6481}.

$$x=\frac{10\sqrt{6481}-810}{-2}$$

Dela -810+10\sqrt{6481} med -2.

$$x=405-5\sqrt{6481}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-810±10\sqrt{6481}}{-2} när ± är minus. Subtrahera 10\sqrt{6481} från -810.

$$x=\frac{-10\sqrt{6481}-810}{-2}$$

Dela -810-10\sqrt{6481} med -2.

$$x=5\sqrt{6481}+405$$

Ekvationen har lösts.

$$x=405-5\sqrt{6481} x=5\sqrt{6481}+405$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+810x-2000=0$$

Addera 2000 till båda ekvationsled.

$$-x^{2}+810x-2000-\left(-2000\right)=-\left(-2000\right)$$

Subtraktion av -2000 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+810x=-\left(-2000\right)$$

Subtrahera -2000 från 0.

$$-x^{2}+810x=2000$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+810x}{-1}=\frac{2000}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{810}{-1}x=\frac{2000}{-1}$$

Dela 810 med -1.

$$x^{2}-810x=\frac{2000}{-1}$$

Dela 2000 med -1.

$$x^{2}-810x=-2000$$

Dividera -810, koefficienten för termen x, med 2 för att få -405. Addera sedan kvadraten av -405 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-810x+\left(-405\right)^{2}=-2000+\left(-405\right)^{2}$$

Kvadrera -405.

$$x^{2}-810x+164025=-2000+164025$$

Addera -2000 till 164025.

$$x^{2}-810x+164025=162025$$

Faktorisera x^{2}-810x+164025. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-405\right)^{2}=162025$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-405\right)^{2}}=\sqrt{162025}$$

Förenkla.

$$x-405=5\sqrt{6481} x-405=-5\sqrt{6481}$$

Addera 405 till båda ekvationsled.

$$x=5\sqrt{6481}+405 x=405-5\sqrt{6481}$$