Lös -x^2+7x-10=0

$$- x ^ { 2 } + 7 x - 10 = 0$$

Lös ut x

$$x=2$$

$$x=5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx-10. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 10.

$$1,10 2,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+10=11 2+5=7$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=5 b=2$$

Skriv om -x^{2}+7x-10 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Utfaktor -x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Lös x-5=0 och -x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=5 x=2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 7 och c med -10 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 49 till -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±3}{-2} när ± är plus. Addera -7 till 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dela -4 med -2.

$$x=2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±3}{-2} när ± är minus. Subtrahera 3 från -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Dela -10 med -2.

$$x=5$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2 x=5$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Addera 10 till båda ekvationsled.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Subtraktion av -10 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Subtrahera -10 från 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Dela 7 med -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Dela 10 med -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Dividera -7, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Addera -10 till \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktorisera x^{2}-7x+\frac{49}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addera \frac{7}{2} till båda ekvationsled.

$$x=5 x=2$$