Lös -x^2+40x=384

$$- x ^ { 2 } + 40 x = 384$$

Lös ut x

$$x=16$$

$$x=24$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 384 från båda led.

$$-x^{2}+40x-384=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx-384. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=40 ab=-\left(-384\right)=384$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 384.

$$1,384 2,192 3,128 4,96 6,64 8,48 12,32 16,24$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+384=385 2+192=194 3+128=131 4+96=100 6+64=70 8+48=56 12+32=44 16+24=40$$

Lösningen är det par som ger Summa 40.

$$a=24 b=16$$

Skriv om -x^{2}+40x-384 som \left(-x^{2}+24x\right)+\left(16x-384\right).

$$\left(-x^{2}+24x\right)+\left(16x-384\right)$$

Utfaktor -x i den första och den 16 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-24\right)+16\left(x-24\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-24 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-24\right)\left(-x+16\right)$$

Lös x-24=0 och -x+16=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=24 x=16$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+40x=384$$

Subtrahera 384 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+40x-384=384-384$$

Subtraktion av 384 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+40x-384=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 40 och c med -384 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-1\right)\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 40.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -384.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1536}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 1600 till -1536.

$$x=\frac{-40±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 64.

$$x=\frac{-40±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-40±8}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-40±8}{-2} när ± är plus. Addera -40 till 8.

$$x=-\frac{32}{-2}$$

Dela -32 med -2.

$$x=16$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-40±8}{-2} när ± är minus. Subtrahera 8 från -40.

$$x=-\frac{48}{-2}$$

Dela -48 med -2.

$$x=24$$

Ekvationen har lösts.

$$x=16 x=24$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+40x=384$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+40x}{-1}=\frac{384}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{40}{-1}x=\frac{384}{-1}$$

Dela 40 med -1.

$$x^{2}-40x=\frac{384}{-1}$$

Dela 384 med -1.

$$x^{2}-40x=-384$$

Dividera -40, koefficienten för termen x, med 2 för att få -20. Addera sedan kvadraten av -20 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-384+\left(-20\right)^{2}$$

Kvadrera -20.

$$x^{2}-40x+400=-384+400$$

Addera -384 till 400.

$$x^{2}-40x+400=16$$

Faktorisera x^{2}-40x+400. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-20\right)^{2}=16$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Förenkla.

$$x-20=4 x-20=-4$$

Addera 20 till båda ekvationsled.

$$x=24 x=16$$