Lös -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Lös ut x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx+15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -15.

$$-1,15 -3,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 2.

$$a=5 b=-3$$

Skriv om -x^{2}+2x+15 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Lös x-5=0 och -x-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=5 x=-3$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 2 och c med 15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 4 till 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±8}{-2} när ± är plus. Addera -2 till 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dela 6 med -2.

$$x=-3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±8}{-2} när ± är minus. Subtrahera 8 från -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Dela -10 med -2.

$$x=5$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-3 x=5$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Dela 2 med -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Dela -15 med -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Addera 15 till 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Förenkla.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=5 x=-3$$