Lös -9x^2+18x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x - 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 1,816496581$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 0,183503419$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-9x^{2}+18x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -9, b med 18 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrera 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 36 med -3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-108}}{2\left(-9\right)}$$

Addera 324 till -108.

$$x=\frac{-18±\sqrt{216}}{2\left(-9\right)}$$

Dra kvadratroten ur 216.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{6}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 2 med -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{6}}{-18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-18±6\sqrt{6}}{-18} när ± är plus. Addera -18 till 6\sqrt{6}.

$$x=\frac{6\sqrt{6}-18}{-18}$$

Dela -18+6\sqrt{6} med -18.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-18±6\sqrt{6}}{-18} när ± är minus. Subtrahera 6\sqrt{6} från -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}-18}{-18}$$

Dela -18-6\sqrt{6} med -18.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$-9x^{2}+18x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-9x^{2}+18x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$-9x^{2}+18x=3$$

Dividera båda led med -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

Division med -9 tar ut multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Dela 18 med -9.

$$x^{2}-2x=\frac{3}{-9}$$

Minska bråktalet \frac{3}{-9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{3}+1$$

Addera -\frac{1}{3} till 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{2}{3}$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{2}{3}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Förenkla.

$$x-1=\frac{\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$