Lös -9x^2+12x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 3.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -3x^{2}+ax+bx-1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=3 b=1$$

Skriv om -3x^{2}+4x-1 som \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Lös -x+1=0 och 3x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -9, b med 12 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrera 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 36 med -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

Addera 144 till -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

Dra kvadratroten ur 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 2 med -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±6}{-18} när ± är plus. Addera -12 till 6.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{-18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±6}{-18} när ± är minus. Subtrahera 6 från -12.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Dela -18 med -18.

$$x=1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$-9x^{2}+12x=3$$

Dividera båda led med -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

Division med -9 tar ut multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Minska bråktalet \frac{12}{-9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

Minska bråktalet \frac{3}{-9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividera -\frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Addera -\frac{1}{3} till \frac{4}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Addera \frac{2}{3} till båda ekvationsled.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$