Lös -9r^2+9r+6=0

$$- 9 r ^ { 2 } + 9 r + 6 = 0$$

Lös ut r

$$r=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}\approx 1,457427108$$

$$r=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}\approx -0,457427108$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-9r^{2}+9r+6=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -9, b med 9 och c med 6 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-9\right)\times 6}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrera 9.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-9\right)\times 6}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81+36\times 6}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 36 med 6.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81+216}}{2\left(-9\right)}$$

Addera 81 till 216.

$$r=\frac{-9±\sqrt{297}}{2\left(-9\right)}$$

Dra kvadratroten ur 297.

$$r=\frac{-9±3\sqrt{33}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicera 2 med -9.

$$r=\frac{-9±3\sqrt{33}}{-18}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-9±3\sqrt{33}}{-18} när ± är plus. Addera -9 till 3\sqrt{33}.

$$r=\frac{3\sqrt{33}-9}{-18}$$

Dela -9+3\sqrt{33} med -18.

$$r=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-9±3\sqrt{33}}{-18} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{33} från -9.

$$r=\frac{-3\sqrt{33}-9}{-18}$$

Dela -9-3\sqrt{33} med -18.

$$r=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$r=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2} r=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-9r^{2}+9r+6=0$$

Subtrahera 6 från båda ekvationsled.

$$-9r^{2}+9r+6-6=-6$$

Subtraktion av 6 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-9r^{2}+9r=-6$$

Dividera båda led med -9.

$$\frac{-9r^{2}+9r}{-9}=-\frac{6}{-9}$$

Division med -9 tar ut multiplikationen med -9.

$$r^{2}+\frac{9}{-9}r=-\frac{6}{-9}$$

Dela 9 med -9.

$$r^{2}-r=-\frac{6}{-9}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{-9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$r^{2}-r=\frac{2}{3}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$r^{2}-r+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$r^{2}-r+\frac{1}{4}=\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{2}{3} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$r^{2}-r+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$$

Faktorisera r^{2}-r+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(r-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(r-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Förenkla.

$$r-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} r-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$r=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2} r=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}$$