Lös -5z^2+z+12=0

$$- 5 z ^ { 2 } + z + 12 = 0$$

Lös ut z

$$z = \frac{\sqrt{241} + 1}{10} \approx 1,65241747$$

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}\approx -1,45241747$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-5z^{2}+z+12=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -5, b med 1 och c med 12 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-5\right)\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrera 1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-5\right)\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+20\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 20 med 12.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+240}}{2\left(-5\right)}$$

Addera 1 till 240.

$$z=\frac{-1±\sqrt{241}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 2 med -5.

$$z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10} när ± är plus. Addera -1 till \sqrt{241}.

$$z=\frac{\sqrt{241}-1}{-10}$$

Dela -1+\sqrt{241} med -10.

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{241} från -1.

$$z=\frac{-\sqrt{241}-1}{-10}$$

Dela -1-\sqrt{241} med -10.

$$z=\frac{\sqrt{241}+1}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10} z=\frac{\sqrt{241}+1}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-5z^{2}+z+12=0$$

Subtrahera 12 från båda ekvationsled.

$$-5z^{2}+z+12-12=-12$$

Subtraktion av 12 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-5z^{2}+z=-12$$

Dividera båda led med -5.

$$\frac{-5z^{2}+z}{-5}=-\frac{12}{-5}$$

Division med -5 tar ut multiplikationen med -5.

$$z^{2}+\frac{1}{-5}z=-\frac{12}{-5}$$

Dela 1 med -5.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z=-\frac{12}{-5}$$

Dela -12 med -5.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z=\frac{12}{5}$$

Dividera -\frac{1}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}=\frac{12}{5}+\frac{1}{100}$$

Addera \frac{12}{5} till \frac{1}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}=\frac{241}{100}$$

Faktorisera z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{241}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{241}{100}}$$

Förenkla.

$$z-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{241}}{10} z-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{241}}{10}$$

Addera \frac{1}{10} till båda ekvationsled.

$$z=\frac{\sqrt{241}+1}{10} z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$