Lös -5x^2+9x=-3

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2,087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0,287434209$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

Subtrahera -3 från 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -5, b med 9 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrera 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 20 med 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Addera 81 till 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 2 med -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} när ± är plus. Addera -9 till \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

Dela -9+\sqrt{141} med -10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{141} från -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

Dela -9-\sqrt{141} med -10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Dividera båda led med -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

Division med -5 tar ut multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

Dela 9 med -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

Dela -3 med -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Dividera -\frac{9}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Addera \frac{3}{5} till \frac{81}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Addera \frac{9}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$