Lös -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Lös ut b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -4, b med 22 och c med -4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrera 22.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera -4 med -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 16 med -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Addera 484 till -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Dra kvadratroten ur 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 2 med -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Lös nu ekvationen b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} när ± är plus. Addera -22 till 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Dela -22+2\sqrt{105} med -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Lös nu ekvationen b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{105} från -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Dela -22-2\sqrt{105} med -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtraktion av -4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Subtrahera -4 från 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Dividera båda led med -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Division med -4 tar ut multiplikationen med -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Minska bråktalet \frac{22}{-4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Dela 4 med -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Dividera -\frac{11}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Addera -1 till \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Faktorisera b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Förenkla.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Addera \frac{11}{4} till båda ekvationsled.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$