Lös -3x^2-9x+84=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 9 x + 84 = 0$$

Lös ut x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 3.

$$-x^{2}-3x+28=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx+28. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-3 ab=-28=-28$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -3.

$$a=4 b=-7$$

Skriv om -x^{2}-3x+28 som \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right)$$

Utfaktor x i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$x\left(-x+4\right)+7\left(-x+4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+4 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+4\right)\left(x+7\right)$$

Lös -x+4=0 och x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=4 x=-7$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med -9 och c med 84 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 81 till 1008.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1089.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\left(-3\right)}$$

Motsatsen till -9 är 9.

$$x=\frac{9±33}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{9±33}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±33}{-6} när ± är plus. Addera 9 till 33.

$$x=\frac{42}{-6}$$

Dela 42 med -6.

$$x=-7$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±33}{-6} när ± är minus. Subtrahera 33 från 9.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Dela -24 med -6.

$$x=4$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-7 x=4$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Subtrahera 84 från båda ekvationsled.

$$-3x^{2}-9x+84-84=-84$$

Subtraktion av 84 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}-9x=-84$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}-9x}{-3}=-\frac{84}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)x=-\frac{84}{-3}$$

Dela -9 med -3.

$$x^{2}+3x=-\frac{84}{-3}$$

Dela -84 med -3.

$$x^{2}+3x=28$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Addera 28 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=4 x=-7$$