Lös -3x^2-24x-51=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 24 x - 51 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-4+i$$

$$x=-4-i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med -24 och c med -51 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+12\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -51.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-612}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 576 till -612.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur -36.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6i}{2\left(-3\right)}$$

Motsatsen till -24 är 24.

$$x=\frac{24±6i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{24±6i}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{24±6i}{-6} när ± är plus. Addera 24 till 6i.

$$x=\frac{24+6i}{-6}$$

Dela 24+6i med -6.

$$x=-4-i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{24±6i}{-6} när ± är minus. Subtrahera 6i från 24.

$$x=\frac{24-6i}{-6}$$

Dela 24-6i med -6.

$$x=-4+i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-4-i x=-4+i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Addera 51 till båda ekvationsled.

$$-3x^{2}-24x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

Subtraktion av -51 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}-24x=-\left(-51\right)$$

Subtrahera -51 från 0.

$$-3x^{2}-24x=51$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}-24x}{-3}=\frac{51}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-3}\right)x=\frac{51}{-3}$$

Dela -24 med -3.

$$x^{2}+8x=\frac{51}{-3}$$

Dela 51 med -3.

$$x^{2}+8x=-17$$

Dividera 8, koefficienten för termen x, med 2 för att få 4. Addera sedan kvadraten av 4 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-17+4^{2}$$

Kvadrera 4.

$$x^{2}+8x+16=-17+16$$

Addera -17 till 16.

$$x^{2}+8x+16=-1$$

Faktorisera x^{2}+8x+16. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+4\right)^{2}=-1$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Förenkla.

$$x+4=i x+4=-i$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$x=-4+i x=-4-i$$