Lös -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Lös ut x

$$x=4$$

$$x=13$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx-52. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Lösningen är det par som ger Summa 17.

$$a=13 b=4$$

Skriv om -x^{2}+17x-52 som \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Utfaktor -x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-13 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Lös x-13=0 och -x+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=13 x=4$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 51 och c med -156 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 2601 till -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-51±27}{-6} när ± är plus. Addera -51 till 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Dela -24 med -6.

$$x=4$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-51±27}{-6} när ± är minus. Subtrahera 27 från -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Dela -78 med -6.

$$x=13$$

Ekvationen har lösts.

$$x=4 x=13$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Addera 156 till båda ekvationsled.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Subtraktion av -156 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Subtrahera -156 från 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Dela 51 med -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Dela 156 med -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Dividera -17, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{17}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{17}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{17}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Addera -52 till \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktorisera x^{2}-17x+\frac{289}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Addera \frac{17}{2} till båda ekvationsled.

$$x=13 x=4$$