Lös -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 5 och c med -4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 25 till -48.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur -23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} när ± är plus. Addera -5 till i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

Dela -5+i\sqrt{23} med -6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{23} från -5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

Dela -5-i\sqrt{23} med -6.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtraktion av -4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Subtrahera -4 från 0.

$$-3x^{2}+5x=4$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Dela 5 med -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Dela 4 med -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Dividera -\frac{5}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Addera -\frac{4}{3} till \frac{25}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Addera \frac{5}{6} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$