Lös -3x^2+5x+6geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 6 \geq 0$$

Lös ut x

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{5-\sqrt{97}}{6},\frac{\sqrt{97}+5}{6}\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera olikheten med -1 för att göra koefficienten av den högsta potensen i -3x^{2}+5x+6 positiv. Eftersom -1 är negativt, ändras olikhetens riktning.

$$3x^{2}-5x-6\leq 0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-6=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 3 med a, -5 med b och -6 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{6}$$

Lös ekvationen x=\frac{5±\sqrt{97}}{6} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{97}}{6}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$3\left(x-\frac{\sqrt{97}+5}{6}\right)\left(x-\frac{5-\sqrt{97}}{6}\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena x-\frac{\sqrt{97}+5}{6} och x-\frac{5-\sqrt{97}}{6} ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när x-\frac{\sqrt{97}+5}{6}\geq 0 och x-\frac{5-\sqrt{97}}{6}\leq 0.

$$x-\frac{\sqrt{97}+5}{6}\geq 0 x-\frac{5-\sqrt{97}}{6}\leq 0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Tänk på fallet när x-\frac{\sqrt{97}+5}{6}\leq 0 och x-\frac{5-\sqrt{97}}{6}\geq 0.

$$x-\frac{5-\sqrt{97}}{6}\geq 0 x-\frac{\sqrt{97}+5}{6}\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left[\frac{5-\sqrt{97}}{6},\frac{\sqrt{97}+5}{6}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{5-\sqrt{97}}{6},\frac{\sqrt{97}+5}{6}\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{5-\sqrt{97}}{6},\frac{\sqrt{97}+5}{6}\end{bmatrix}$$