Lös -3x^2+4x-1>0

$$- 3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(\frac{1}{3},1\right)$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera olikheten med -1 för att göra koefficienten av den högsta potensen i -3x^{2}+4x-1 positiv. Eftersom -1 är negativt, ändras olikhetens riktning.

$$3x^{2}-4x+1<0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 3 med a, -4 med b och 1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{4±2}{6}$$

Lös ekvationen x=\frac{4±2}{6} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$3\left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-1 och x-\frac{1}{3} måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-1 är positivt och x-\frac{1}{3} är negativt.

$$x-1>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x-\frac{1}{3} är positivt och x-1 är negativt.

$$x-\frac{1}{3}>0 x-1<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(\frac{1}{3},1\right).

$$x\in \left(\frac{1}{3},1\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(\frac{1}{3},1\right)$$