Lös -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -3 med 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Överväg \left(x+1\right)\left(x-1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrera 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Subtrahera 1 från 3 för att få 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -5 med x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Slå ihop -6x och -5x för att få -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Subtrahera 10 från 2 för att få -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Subtrahera 1 från -8 för att få -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -11 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrera -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Addera 121 till 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Motsatsen till -11 är 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} när ± är plus. Addera 11 till \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{157} från 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -3 med 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Överväg \left(x+1\right)\left(x-1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrera 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Subtrahera 1 från 3 för att få 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -5 med x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Slå ihop -6x och -5x för att få -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Subtrahera 10 från 2 för att få -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Lägg till 8 på båda sidorna.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Addera 1 och 8 för att få 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=9$$

Dividera -11, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Addera 9 till \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Faktorisera x^{2}-11x+\frac{121}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Addera \frac{11}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$