Lös -2x^2+x+1=0

$$- 2 x ^ { 2 } + x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -2x^{2}+ax+bx+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=2 b=-1$$

Skriv om -2x^{2}+x+1 som \left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right)$$

Bryt ut 2x i -2x^{2}+2x.

$$2x\left(-x+1\right)-x+1$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Lös -x+1=0 och 2x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -2, b med 1 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Addera 1 till 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 2 med -2.

$$x=\frac{-1±3}{-4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±3}{-4} när ± är plus. Addera -1 till 3.

$$x=\frac{2}{-4}$$

Minska bråktalet \frac{2}{-4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±3}{-4} när ± är minus. Subtrahera 3 från -1.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Dela -4 med -4.

$$x=1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{1}{2} x=1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$-2x^{2}+x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-2x^{2}+x=-1$$

Dividera båda led med -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Division med -2 tar ut multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=-\frac{1}{-2}$$

Dela 1 med -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Dela -1 med -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Dividera -\frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Addera \frac{1}{4} till båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$