Lös -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Lös ut x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -2x^{2}+ax+bx+24. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 13.

$$a=16 b=-3$$

Skriv om -2x^{2}+13x+24 som \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+8 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Lös -x+8=0 och 2x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -2, b med 13 och c med 24 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrera 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 8 med 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Addera 169 till 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Dra kvadratroten ur 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 2 med -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-13±19}{-4} när ± är plus. Addera -13 till 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Minska bråktalet \frac{6}{-4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-13±19}{-4} när ± är minus. Subtrahera 19 från -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Dela -32 med -4.

$$x=8$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Subtrahera 24 från båda ekvationsled.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Subtraktion av 24 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Dividera båda led med -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Division med -2 tar ut multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Dela 13 med -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Dela -24 med -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Dividera -\frac{13}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{13}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{13}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{13}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Addera 12 till \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Addera \frac{13}{4} till båda ekvationsled.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$