Lös -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera olikheten med -1 för att göra koefficienten av den högsta potensen i -2x^{2}+12x-14 positiv. Eftersom -1 är <0 ändras olikhetens riktning.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 2 med a, -12 med b och 14 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Lös ekvationen x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\left(\sqrt{2}+3\right) och x-\left(3-\sqrt{2}\right) måste vara av motsatt tecken. Behandla ärendet när x-\left(\sqrt{2}+3\right) är positivt och x-\left(3-\sqrt{2}\right) är negativt.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Behandla ärendet när x-\left(3-\sqrt{2}\right) är positivt och x-\left(\sqrt{2}+3\right) är negativt.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$