Lös -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Lös ut t

$$t=1$$

$$t=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 128 från båda led.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Subtrahera 128 från 80 för att få -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Dividera båda led med 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -t^{2}+at+bt-3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=3 b=1$$

Skriv om -t^{2}+4t-3 som \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Bryt ut -t i -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Bryt ut den gemensamma termen t-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Lös t-3=0 och -t+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$t=3 t=1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Subtrahera 128 från båda ekvationsled.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Subtraktion av 128 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Subtrahera 128 från 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -16, b med 64 och c med -48 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrera 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera -4 med -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera 64 med -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Addera 4096 till -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera 2 med -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{-64±32}{-32} när ± är plus. Addera -64 till 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Dela -32 med -32.

$$t=1$$

Lös nu ekvationen t=\frac{-64±32}{-32} när ± är minus. Subtrahera 32 från -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Dela -96 med -32.

$$t=3$$

Ekvationen har lösts.

$$t=1 t=3$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Subtrahera 80 från båda ekvationsled.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Subtraktion av 80 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Subtrahera 80 från 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Dividera båda led med -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Division med -16 tar ut multiplikationen med -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Dela 64 med -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Dela 48 med -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Dividera -4, koefficienten för termen x, med 2 för att få -2. Addera sedan kvadraten av -2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrera -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Addera -3 till 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Faktorisera t^{2}-4t+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Förenkla.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$t=3 t=1$$