Lös -16t^2+36t+7=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

Lös ut t

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2,430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0,180038314$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -16, b med 36 och c med 7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrera 36.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera -4 med -16.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera 64 med 7.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

Addera 1296 till 448.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1744.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicera 2 med -16.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} när ± är plus. Addera -36 till 4\sqrt{109}.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Dela -36+4\sqrt{109} med -32.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{109} från -36.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Dela -36-4\sqrt{109} med -32.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Subtrahera 7 från båda ekvationsled.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

Subtraktion av 7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

Dividera båda led med -16.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

Division med -16 tar ut multiplikationen med -16.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

Minska bråktalet \frac{36}{-16} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

Dela -7 med -16.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

Dividera -\frac{9}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

Addera \frac{7}{16} till \frac{81}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

Faktorisera t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

Förenkla.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

Addera \frac{9}{8} till båda ekvationsled.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$