Lös -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Lös ut y

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 10 och c med 400 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 10.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 100 till 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} när ± är plus. Addera -10 till 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Dela -10+10\sqrt{17} med -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} när ± är minus. Subtrahera 10\sqrt{17} från -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Dela -10-10\sqrt{17} med -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

Ekvationen har lösts.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Subtrahera 400 från båda ekvationsled.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Subtraktion av 400 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

Dela 10 med -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

Dela -400 med -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Dividera -10, koefficienten för termen x, med 2 för att få -5. Addera sedan kvadraten av -5 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrera -5.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Addera 400 till 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Faktorisera y^{2}-10y+25. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Förenkla.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$