Lös -x^2+45x-200=124

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

Lös ut x

$$x=9$$

$$x=36$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 124 från båda led.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Subtrahera 124 från -200 för att få -324.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx-324. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Lösningen är det par som ger Summa 45.

$$a=36 b=9$$

Skriv om -x^{2}+45x-324 som \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

Utfaktor -x i den första och den 9 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-36 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

Lös x-36=0 och -x+9=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=36 x=9$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Subtrahera 124 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

Subtraktion av 124 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Subtrahera 124 från -200.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 45 och c med -324 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -324.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 2025 till -1296.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 729.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-45±27}{-2} när ± är plus. Addera -45 till 27.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Dela -18 med -2.

$$x=9$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-45±27}{-2} när ± är minus. Subtrahera 27 från -45.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

Dela -72 med -2.

$$x=36$$

Ekvationen har lösts.

$$x=9 x=36$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Addera 200 till båda ekvationsled.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

Subtraktion av -200 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

Subtrahera -200 från 124.

$$-x^{2}+45x=324$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

Dela 45 med -1.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

Dela 324 med -1.

$$x^{2}-45x=-324$$

Dividera -45, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{45}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{45}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{45}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

Addera -324 till \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

Faktorisera x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

Addera \frac{45}{2} till båda ekvationsled.

$$x=36 x=9$$