Lös -1/5x^2+3x+16/5=0

$$- \frac{ 1 }{ 5 } { x }^{ 2 } +3x+ \frac{ 16 }{ 5 } =0$$

Lös ut x

$$x=-1$$

$$x=16$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -\frac{1}{5}, b med 3 och c med \frac{16}{5} i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Multiplicera -4 med -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{4}{5}\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Multiplicera \frac{4}{5} med \frac{16}{5} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{64}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Addera 9 till \frac{64}{25}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{\frac{289}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Dra kvadratroten ur \frac{289}{25}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Multiplicera 2 med -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} när ± är plus. Addera -3 till \frac{17}{5}.

$$x=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Dela \frac{2}{5} med -\frac{2}{5} genom att multiplicera \frac{2}{5} med reciproken till -\frac{2}{5}.

$$x=-1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} när ± är minus. Subtrahera \frac{17}{5} från -3.

$$x=-\frac{\frac{32}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Dela -\frac{32}{5} med -\frac{2}{5} genom att multiplicera -\frac{32}{5} med reciproken till -\frac{2}{5}.

$$x=16$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-1 x=16$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Subtrahera \frac{16}{5} från båda ekvationsled.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{16}{5}$$

Subtraktion av \frac{16}{5} från sig självt ger 0 som resultat.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x=-\frac{16}{5}$$

Multiplicera båda led med -5.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+3x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Division med -\frac{1}{5} tar ut multiplikationen med -\frac{1}{5}.

$$x^{2}+\frac{3}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Dela 3 med -\frac{1}{5} genom att multiplicera 3 med reciproken till -\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Dela -\frac{16}{5} med -\frac{1}{5} genom att multiplicera -\frac{16}{5} med reciproken till -\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=16$$

Dividera -15, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{15}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{15}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{15}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=16+\frac{225}{4}$$

Addera 16 till \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktorisera x^{2}-15x+\frac{225}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{17}{2}$$

Addera \frac{15}{2} till båda ekvationsled.

$$x=16 x=-1$$