Lös -16/5t^2+6t=45

$$- \frac { 16 } { 5 } t ^ { 2 } + 6 t = 45$$

Lös ut t

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}\approx 0,9375+3,630921887i$$

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}\approx 0,9375-3,630921887i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t=45$$

Subtrahera 45 från båda ekvationsled.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t-45=45-45$$

Subtraktion av 45 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t-45=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -\frac{16}{5}, b med 6 och c med -45 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-\frac{16}{5}\right)\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Kvadrera 6.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-\frac{16}{5}\right)\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Multiplicera -4 med -\frac{16}{5}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36+\frac{64}{5}\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Multiplicera \frac{64}{5} med -45.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-576}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Addera 36 till -576.

$$t=\frac{-6±\sqrt{-540}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Dra kvadratroten ur -540.

$$t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Multiplicera 2 med -\frac{16}{5}.

$$t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}} när ± är plus. Addera -6 till 6i\sqrt{15}.

$$t=\frac{-6+6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}$$

Dela -6+6i\sqrt{15} med -\frac{32}{5} genom att multiplicera -6+6i\sqrt{15} med reciproken till -\frac{32}{5}.

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}} när ± är minus. Subtrahera 6i\sqrt{15} från -6.

$$t=\frac{-6\sqrt{15}i-6}{-\frac{32}{5}}$$

Dela -6-6i\sqrt{15} med -\frac{32}{5} genom att multiplicera -6-6i\sqrt{15} med reciproken till -\frac{32}{5}.

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}$$

Ekvationen har lösts.

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16} t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t=45$$

Dela båda ekvationsled med -\frac{16}{5}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$\frac{-\frac{16}{5}t^{2}+6t}{-\frac{16}{5}}=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Division med -\frac{16}{5} tar ut multiplikationen med -\frac{16}{5}.

$$t^{2}+\frac{6}{-\frac{16}{5}}t=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Dela 6 med -\frac{16}{5} genom att multiplicera 6 med reciproken till -\frac{16}{5}.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Dela 45 med -\frac{16}{5} genom att multiplicera 45 med reciproken till -\frac{16}{5}.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t=-\frac{225}{16}$$

Dividera -\frac{15}{8}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{15}{16}. Addera sedan kvadraten av -\frac{15}{16} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{225}{16}+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{15}{16} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}=-\frac{225}{16}+\frac{225}{256}$$

Addera -\frac{225}{16} till \frac{225}{256} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}=-\frac{3375}{256}$$

Faktorisera t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{3375}{256}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-\frac{15}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3375}{256}}$$

Förenkla.

$$t-\frac{15}{16}=\frac{15\sqrt{15}i}{16} t-\frac{15}{16}=-\frac{15\sqrt{15}i}{16}$$

Addera \frac{15}{16} till båda ekvationsled.

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16} t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}$$