Lös -1/3a^2+a+2=0

$$- \frac { 1 } { 3 } a ^ { 2 } + a + 2 = 0$$

Lös ut a

$$a = \frac{\sqrt{33} + 3}{2} \approx 4,372281323$$

$$a=\frac{3-\sqrt{33}}{2}\approx -1,372281323$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-\frac{1}{3}a^{2}+a+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -\frac{1}{3}, b med 1 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-\frac{1}{3}\right)\times 2}}{2\left(-\frac{1}{3}\right)}$$

Kvadrera 1.

$$a=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-\frac{1}{3}\right)\times 2}}{2\left(-\frac{1}{3}\right)}$$

Multiplicera -4 med -\frac{1}{3}.

$$a=\frac{-1±\sqrt{1+\frac{4}{3}\times 2}}{2\left(-\frac{1}{3}\right)}$$

Multiplicera \frac{4}{3} med 2.

$$a=\frac{-1±\sqrt{1+\frac{8}{3}}}{2\left(-\frac{1}{3}\right)}$$

Addera 1 till \frac{8}{3}.

$$a=\frac{-1±\sqrt{\frac{11}{3}}}{2\left(-\frac{1}{3}\right)}$$

Dra kvadratroten ur \frac{11}{3}.

$$a=\frac{-1±\frac{\sqrt{33}}{3}}{2\left(-\frac{1}{3}\right)}$$

Multiplicera 2 med -\frac{1}{3}.

$$a=\frac{-1±\frac{\sqrt{33}}{3}}{-\frac{2}{3}}$$

Lös nu ekvationen a=\frac{-1±\frac{\sqrt{33}}{3}}{-\frac{2}{3}} när ± är plus. Addera -1 till \frac{\sqrt{33}}{3}.

$$a=\frac{\frac{\sqrt{33}}{3}-1}{-\frac{2}{3}}$$

Dela -1+\frac{\sqrt{33}}{3} med -\frac{2}{3} genom att multiplicera -1+\frac{\sqrt{33}}{3} med reciproken till -\frac{2}{3}.

$$a=\frac{3-\sqrt{33}}{2}$$

Lös nu ekvationen a=\frac{-1±\frac{\sqrt{33}}{3}}{-\frac{2}{3}} när ± är minus. Subtrahera \frac{\sqrt{33}}{3} från -1.

$$a=\frac{-\frac{\sqrt{33}}{3}-1}{-\frac{2}{3}}$$

Dela -1-\frac{\sqrt{33}}{3} med -\frac{2}{3} genom att multiplicera -1-\frac{\sqrt{33}}{3} med reciproken till -\frac{2}{3}.

$$a=\frac{\sqrt{33}+3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$a=\frac{3-\sqrt{33}}{2} a=\frac{\sqrt{33}+3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{3}a^{2}+a+2=0$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$-\frac{1}{3}a^{2}+a+2-2=-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-\frac{1}{3}a^{2}+a=-2$$

Multiplicera båda led med -3.

$$\frac{-\frac{1}{3}a^{2}+a}{-\frac{1}{3}}=-\frac{2}{-\frac{1}{3}}$$

Division med -\frac{1}{3} tar ut multiplikationen med -\frac{1}{3}.

$$a^{2}+\frac{1}{-\frac{1}{3}}a=-\frac{2}{-\frac{1}{3}}$$

Dela 1 med -\frac{1}{3} genom att multiplicera 1 med reciproken till -\frac{1}{3}.

$$a^{2}-3a=-\frac{2}{-\frac{1}{3}}$$

Dela -2 med -\frac{1}{3} genom att multiplicera -2 med reciproken till -\frac{1}{3}.

$$a^{2}-3a=6$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$a^{2}-3a+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$a^{2}-3a+\frac{9}{4}=6+\frac{9}{4}$$

Addera 6 till \frac{9}{4}.

$$a^{2}-3a+\frac{9}{4}=\frac{33}{4}$$

Faktorisera a^{2}-3a+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(a-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Förenkla.

$$a-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} a-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$a=\frac{\sqrt{33}+3}{2} a=\frac{3-\sqrt{33}}{2}$$