Lös -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -\frac{1}{3} med x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} med x-\frac{1}{3} och slå ihop lika termer.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Multiplicera olikheten med -1 för att göra koefficienten av den högsta potensen i -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} positiv. Eftersom -1 är negativt, ändras olikhetens riktning.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt \frac{1}{3} med a, \frac{5}{9} med b och -\frac{2}{9} med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Lös ekvationen x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\frac{1}{3} och x+2 måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-\frac{1}{3} är positivt och x+2 är negativt.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x+2 är positivt och x-\frac{1}{3} är negativt.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$