Lös (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 20-x med 100+20x och slå ihop lika termer.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Subtrahera 2240 från båda led.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Subtrahera 2240 från 2000 för att få -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -20, b med 300 och c med -240 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kvadrera 300.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicera -4 med -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicera 80 med -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Addera 90000 till -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Dra kvadratroten ur 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Multiplicera 2 med -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} när ± är plus. Addera -300 till 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Dela -300+20\sqrt{177} med -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} när ± är minus. Subtrahera 20\sqrt{177} från -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Dela -300-20\sqrt{177} med -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 20-x med 100+20x och slå ihop lika termer.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Subtrahera 2000 från båda led.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Subtrahera 2000 från 2240 för att få 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Dividera båda led med -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Division med -20 tar ut multiplikationen med -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Dela 300 med -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Dela 240 med -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Dividera -15, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{15}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{15}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{15}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Addera -12 till \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Faktorisera x^{2}-15x+\frac{225}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Addera \frac{15}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$