Lös (100-x)(1300-5x)=32000

$$(100-x)(1300-5x)=32000$$

Lös ut x

$$x=80\sqrt{2}+180\approx 293,13708499$$

$$x=180-80\sqrt{2}\approx 66,86291501$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 100-x med 1300-5x och slå ihop lika termer.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Subtrahera 32000 från båda led.

$$130000-1800x+5x^{2}-32000=0$$

Subtrahera 32000 från 130000 för att få 98000.

$$98000-1800x+5x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-1800x+98000=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -1800 och c med 98000 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{\left(-1800\right)^{2}-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Kvadrera -1800.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-20\times 98000}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 98000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-1960000}}{2\times 5}$$

Addera 3240000 till -1960000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{1280000}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 1280000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Motsatsen till -1800 är 1800.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10} när ± är plus. Addera 1800 till 800\sqrt{2}.

$$x=\frac{800\sqrt{2}+1800}{10}$$

Dela 1800+800\sqrt{2} med 10.

$$x=80\sqrt{2}+180$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10} när ± är minus. Subtrahera 800\sqrt{2} från 1800.

$$x=\frac{1800-800\sqrt{2}}{10}$$

Dela 1800-800\sqrt{2} med 10.

$$x=180-80\sqrt{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 100-x med 1300-5x och slå ihop lika termer.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Subtrahera 130000 från båda led.

$$-1800x+5x^{2}=32000-130000$$

Subtrahera 130000 från 32000 för att få -98000.

$$-1800x+5x^{2}=-98000$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-1800x=-98000$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-1800x}{5}=-\frac{98000}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{1800}{5}\right)x=-\frac{98000}{5}$$

Dela -1800 med 5.

$$x^{2}-360x=-\frac{98000}{5}$$

Dela -98000 med 5.

$$x^{2}-360x=-19600$$

Dividera -360, koefficienten för termen x, med 2 för att få -180. Addera sedan kvadraten av -180 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-19600+\left(-180\right)^{2}$$

Kvadrera -180.

$$x^{2}-360x+32400=-19600+32400$$

Addera -19600 till 32400.

$$x^{2}-360x+32400=12800$$

Faktorisera x^{2}-360x+32400. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-180\right)^{2}=12800$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

Förenkla.

$$x-180=80\sqrt{2} x-180=-80\sqrt{2}$$

Addera 180 till båda ekvationsled.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$